题目内容
【题目】关于的一元二次方程
有两个整数根且乘积为正,关于
的一元二次方程
同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:①这两个方程的根都负根;②
;③
,其中正确结论的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
设方程的两根为x1、x2,方程
同的两根为y1、y2.①根据方程解的情况可得出x1x2=2n>0、y1y2=2m>0,结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n,进而得出这两个方程的根都是负根,①正确;②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0,将(m-1)2+(n-1)2展开代入即可得出②正确;③根据根与系数的关系可得出2m-2n=(y1+1)(y2+1)-1、2n-2m=(x1+1)(x2+1)-1,结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1,③成立.综上即可得出结论.
设方程的两根为x1、x2,方程
同的两根为y1、y2.
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴x1x2=2n>0,y1y2=2m>0,
∵x1+x2=-2m,y1+y2=-2n,
∴这两个方程的根都是负根,①正确;
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴4m2-8n≥0,4n2-8m≥0,
∴m2-2n≥0,n2-2m≥0,
∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2,②正确;
③∵y1y2=2m,y1+y2=-2n,
∴2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1,
∵y1、y2均为负整数,
∴(y1+1)(y2+1)≥0,
∴2m-2n≥-1.
∵x1x2=2n,x1+x2=-2m,
∴2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1,
∵x1、x2均为负整数,
∴(x1+1)(x2+1)≥0,
∴2 n -2 m≥-1,即2m-2n≤1.
∴-1≤2m-2n≤1,③成立.
综上所述:成立的结论有①②③.
故选D.

【题目】我县某商场计划购进甲、乙两种商品共80件,这两种商品的进价、售价如表所示:
进价(元/件) | 售价(元/件) | |
甲种商品 | 15 | 20 |
乙种商品 | 25 | 35 |
设其中甲种商品购进x件,售完此两种商品总利润为y元.
(1)写出y与x的函数关系式.
(2)该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共80件,则至少要购进多少件甲种商品?若售完这些商品,商场可获得的最大利润是多少元?