题目内容

【题目】关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正,关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:这两个方程的根都负根;;③,其中正确结论的个数是(

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

设方程的两根为x1、x2,方程同的两根为y1、y2①根据方程解的情况可得出x1x2=2n>0、y1y2=2m>0,结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n,进而得出这两个方程的根都是负根,①正确;②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0,将(m-1)2+(n-1)2展开代入即可得出②正确;③根据根与系数的关系可得出2m-2n=(y1+1)(y2+1)-1、2n-2m=(x1+1)(x2+1)-1,结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1,③成立.综上即可得出结论.

设方程的两根为x1、x2,方程同的两根为y1、y2

①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,

∴x1x2=2n>0,y1y2=2m>0,

∵x1+x2=-2m,y1+y2=-2n,

∴这两个方程的根都是负根,①正确;

②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,

∴4m2-8n≥0,4n2-8m≥0,

∴m2-2n≥0,n2-2m≥0,

∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2,②正确;

③∵y1y2=2m,y1+y2=-2n,

∴2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1,

∵y1、y2均为负整数,

∴(y1+1)(y2+1)≥0,

∴2m-2n≥-1.

∵x1x2=2n,x1+x2=-2m,

∴2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1,

∵x1、x2均为负整数,

∴(x1+1)(x2+1)≥0,

∴2 n -2 m≥-1,即2m-2n≤1.

∴-1≤2m-2n≤1,③成立.

综上所述:成立的结论有①②③.

故选D.

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