题目内容

如图,已知四边形ABCD是正方形,E是正方形内一点,以BC为斜边作直角三角形BCE,又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF,且∠EBF=90°,连接AF.
(1)求证:AF=CE;
(2)求证:AF∥EB;
(3)若AB=5
3
BF
CE
=
6
3
,求点E到BC的距离.
分析:(1)根据正方形的性质和已知条件证明△FBA≌△EBC,即可得到AF=CE;
(2)由(1)知△FBA≌△EBC,所以∠FAB=∠ECB,再证明∠FAB=∠ABE,即可证明AF∥EB;
(3)设BE=
6
x,CE=3x,根据勾股定理 6x2+9x2=(5
3
2,解方程求出x的值,再根据面积定值即可求出点E到BC的距离.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∵∠FBE=90°,
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠FBA=∠EBC,
∵在△FBA和△EBC中,
BF=BR
∠FBA=∠EBC
BA=BC

∴△FBA≌△EBC(SAS),
∴AF=CE;

(2)由(1)知△FBA≌△EBC,
∴∠FAB=∠ECB,
又∵∠EBC=∠ABE(都是∠EBC的余角),
∴∠FAB=∠ABE,
∴AF∥EB;

(3)∵
BF
CE
=
6
3

∴设BE=
6
x,CE=3x,
则 6x2+9x2=(5
3
2
解得:x=
5

∴BE=
30
,CE=3
5

由面积相等得 BE•CE=BC•h,
解得 h=3
2

∴点E到BC的距离为 3
2
点评:本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定以及勾股定理的运用,题目的综合性较强,难度中等.
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