题目内容
【题目】已知的斜边
,
.
以点
为圆心,当半径为多长时,
与
相切;
以点
为圆心,
长为半径作
,若
以
厘米/秒的速度沿
由
向
移动,经过多长时间
与
相切?
【答案】(1)相切(2)相切
【解析】
(1)过点C作CD垂直于AB,根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,可得出圆C与AB相切时,CD为此时圆C的半径,在直角三角形ABC中,由AB及AC的长,利用勾股定理求出BC的长,由直角三角形的面积可以由斜边AB与高CD乘积的一半来,也可以由两直角边乘积的一半来求,可得出CD的长,即为AB与圆C相切时的半径;
(2)如图所示,当圆心C与点E重合时,圆C与AB相切,切点为点F,连接EF,由切线的性质得到EF垂直于AB,且EF等于圆C的半径,由一对直角相等,且一对公共角相等,根据两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形BEF与三角形ABC相似,由相似得比例,将AC,AB,EF的长代入求出EB的长,再由CB-EB求出CE的长,即为圆心C运动的路程,用路程除以速度,即可求出圆C与AB相切时所用的时间.
过
作
,交
于点
,如图所示:
的斜边
,
,
根据勾股定理得:,
∵,
∴,
则以点为圆心,当半径为
时,
与
相切;
当点
与
重合时,
与
相切,如图所示:
连接,则
且
,又
,
∴,又
,
∴,
∴,又
,
,
,
∴,
∴,又点
的速度为
厘米/秒,
∴点运动的时间为
(秒),
则经过秒
与
相切.

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