Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF

（1）证明四边形ADEF是平行四边形．
（2）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF为矩形．
（3）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF不存在．
（4）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF为菱形．

Answer 1

证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中

AB=BD ∠ABC=∠DBE BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
故答案为：∠BAC=150°；

（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，
此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在；
故答案为：∠BAC=60°；

（4）当AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，AD=AF，
∴平行四边形ADEF是菱形．
故答案为：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）．