题目内容
如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作


【小题1】当∠AOB=30°时,求弧AB的长度
【小题2】当DE=8时,求线段EF的长;
【小题3】在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【小题1】连接BC,

∵A(10,0),∴OA=10,CA=5。
∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°。
∴弧AB的长=

【小题2】连接OD,

∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。
在Rt△ODE中,OE=

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA。
∴


【小题3】设OE=

①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=


当∠ECF=∠OAB时,有CE=5﹣


∴CF∥AB,有CF=

∵△ECF∽△EAD,∴




②当交点E在点C的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO。
连接BE,

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。
∴CF∥BE。∴

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=900,∴△CEF∽△AED,∴

而AD=2BE,∴


解得

∵



∵

又∵点E在


综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:
E1(




(1)连接BC,由已知得∠ACB=2∠AOB=60°,AC=

(2)连接OD,由垂直平分线的性质得OD=OA=10,又DE=8,在Rt△ODE中,由勾股定理求OE,依题意证明△OEF∽△DEA,利用相似比求EF;
(3)存在.当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时,分为①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,②当交点E在点C的右侧时,要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,③当交点E在点O的左侧时,要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,三种情况,分别求E点坐标.

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