题目内容

如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作轴垂线,分别交轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF.

【小题1】当∠AOB=30°时,求弧AB的长度
【小题2】当DE=8时,求线段EF的长;
【小题3】在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【小题1】连接BC,

∵A(10,0),∴OA=10,CA=5。
∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°。
∴弧AB的长=
【小题2】连接OD,

∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。
在Rt△ODE中,OE=
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA。
,即,∴EF=3。
【小题3】设OE=
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=,∴E1,0)。
当∠ECF=∠OAB时,有CE=5﹣,AE=10﹣
∴CF∥AB,有CF=AB。
∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得,。∴E2,0)。
②当交点E在点C的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO。
连接BE,

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。
∴CF∥BE。∴
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=900,∴△CEF∽△AED,∴
而AD=2BE,∴。即
解得
<0,舍去,∴E3,0)。

<0,舍去,
又∵点E在轴负半轴上,∴E4,0)。
综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:
E1,0)、E2,0)、E3,0)、E4,0)。解析:
(1)连接BC,由已知得∠ACB=2∠AOB=60°,AC=AO=5,根据弧长公式求解;
(2)连接OD,由垂直平分线的性质得OD=OA=10,又DE=8,在Rt△ODE中,由勾股定理求OE,依题意证明△OEF∽△DEA,利用相似比求EF;
(3)存在.当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时,分为①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,②当交点E在点C的右侧时,要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,③当交点E在点O的左侧时,要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,三种情况,分别求E点坐标.
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