题目内容
【题目】如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BD=10．Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩形的B点重合，∠FGE=90°，已知GE+AB=BC，FG=2GE．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向按每秒1个单位运动，直到点G到达点C停止运动．设Rt△EFG的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求出线段FG的长，并求出当点F恰好经过BD时，运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设Rt△EFG与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
【答案】（1）FG=4，t=
；（2）S=
．
【解析】
试题分析：（1）利用矩形的性质和勾股定理易得FG，利用相似三角形的性质可得BG的长，进而可求出t的值；（2）①如图1，当0＜t≤2时，根据三角形的面积公式求得结论；②如图2，当2＜t≤
时，根据三角形的面积公式即可得到结论；③如图3，当＜t≤8时，S=4④当8＜t≤10时根据两三角形的面积差即可得到结论．
试题解析：（1）在矩形ABCD中，AB=6，BD=10，∴由勾股定理得：BC=8，∵在Rt△EFG中，GE+AB=BC，FG=2GE．∴FG=4 ，当点F恰好经过BD时，∵∠FGE=90°，∠C=90°，∴FG∥DC，∴△BFG∽△BCD，∴
，∴BG=
，∴BE=，∴当点F恰好经过BD时，t=．（2）①当0≤t≤2时，如图1，∵MN∥CD，∴三角形BMN相似三角形BCD，三角形MNE相似三角形FGE，设MN=x,则BN=
，NE=0.5x,则BE=
x=t，∴MN=
，S=
t2，
②当2＜t≤时，如图2，S=﹣
t2+
t﹣
，
③当＜t≤8时，如图3，S=4，
④当8＜t≤10时，如图4，S=﹣t2+16t﹣60，
，综上可知S与t之间的函数关系式为：S=
．
