题目内容
【题目】问题情境:以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处(∠COD=90°).
(1)如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON=_°；
(2)直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数。
(3)直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠ AOC ，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由。
【答案】（1）135；
（2）∠MON=135°
（3）猜想∠MON=135°，证明见解析.
【解析】
（1）先求出∠COM=45°，再利用∠MON=∠COM+∠CON即可求出；
（2）先求出∠AOC+∠BOD=90°，再根据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可知∠COM+∠DON=45°，再利用∠MON=∠COM+∠DON+∠COD即可求出；
（3）如图延长NO至Q、DO至H，则∠DOH为平角，∠COH=90°，根据对顶角相等，知∠BOD=∠AOH，∠NOD=∠QOH，再根据∠COH=∠AOC-∠AOH=90°，又OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，得∠COM-∠QOH=45°，则∠MON=∠COD-∠NOD+∠COM=∠COD+∠COM-∠QOH=90°+45°=135°.
（1）∵∠AOC=90°，OM平分∠AOC，
∴∠COM=45°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=45°+90°=135°；
（2）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM+∠DON=
（∠AOC+∠BOD）=45°，
∴∠MON=∠COM+∠DON+∠COD=45°+90°=135°；
（3）猜想∠MON=135°，证明如下：
如图延长NO至Q、DO至H，
则∠DOH为平角，∠COH=90°，
∴∠COH=∠AOC-∠AOH=90°，
又∵∠BOD=∠AOH，∠NOD=∠QOH，
OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM-∠QOH=45°，
则∠MON=∠COD-∠NOD+∠COM
=∠COD+∠COM-∠QOH
=90°+45°=135°.
