题目内容

在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b)(t,b均为非零常数).平移二次精英家教网函数y=-tx2的图象,得到的抛物线F满足两个条件:①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(|OB|<|OC|).连接AB.
(1)是否存在这样的抛物线F,使得|OA|2=|OB|•|OC|?请你作出判断,并说明理由;
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=
32
,求抛物线F对应的二次函数的解析式.
分析:(1)平移二次函数y=-tx2的图象,得到的抛物线F,则抛物线的二次项系数不变,顶点为Q,则函数的解析式就可以直接写出.是y=-t(x-t)2+b.|OB|•|OC|就是一元二次方程-t(x-t)2+b=0的两根的积得绝对值,因而可以用根据韦达定理,利用t表示出来.而OA=t,根据|OA|2=|OB|•|OC|就可以得到一个关于t的方程.从而把问题转化为判断方程的解得问题.
(2)AQ∥BC即Q得纵坐标是b=t,得到抛物线F是:y=-t(x-t)2+t.就可以求出B,C的坐标.已知tan∠ABO=
3
2
,就是已知OA与OB得比值,即t的关系.就可以转化为方程问题解决.
解答:解:(1)存在这样的抛物线F,使得|OA|2=|OB|•|OC|.
理由是:∵平移y=-tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q,
∴抛物线F对应的解析式为:y=-t(x-t)2+b,即y=-tx2+2t2x-t3+b,
令y=0,得OB=t-
b
t
,OC=t+
b
t

∴|OB|•|OC|=|(t-
b
t
)(t+
b
t
)|=|t2-
b
t
|=t2=OA2
t2-
b
t
t2

所以当b=2t3时,存在抛物线F使得|OA|2=|OB|•|OC|,
即:存在这样的抛物线F,使得|OA|2=|OB|•|OC|.

(2)∵AQ∥BC,
∴t=b,得:y=-t(x-t)2+t,
解得x1=t-1,x2=t+1.
在Rt△AOB中,
①当t>0时,由|OB|<|OC|,得B(t-1,0),
当t-1>0时,由tan∠ABO=
3
2
=
|OA|
|OB|
=
t
t-1
,解得t=3,
此时,二次函数解析式为y=-3x2+18x-24;
当t-1<0时,由tan∠ABO=
3
2
=
|OA|
|OB|
=
t
-t+1
,解得t=
3
5

此时,二次函数解析式为y=-
3
5
x2+
18
25
x+
48
125

②当t<0时,由|OB|<|OC|,将-t代替t,解得:t=-
3
5
,t=-3,
同法求出y=-
3
5
x2+
18
25
x-
48
125
或y=-3x2+18x+24;
故二次函数解析式为y=-
3
5
x2+
18
25
x-
48
125
或y=-3x2+18x+24,
答:抛物线F对应的二次函数的解析式是y=-
3
5
x2+
18
25
48
125
或y=-3x2+18x±24.
点评:我们可以先假设存在这样的抛物线,如果能够求出对应的值,则存在,如果求不出,则不存在.
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