Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF.
小题1:证明BF是⊙O的切线;
小题2:设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.

Answer 1

小题1:见解析。
小题2:30°

证明：连接OF.
（1） ∵ CF⊥OC,
∴ ∠FCO=90°.
∵ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠CBO.
∵ FC=FB，
∴ ∠FCB=∠FBC.                                       
∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.
即 ∠FBO=∠FCO=90°.
∴ OB⊥BF.
∵ OB是⊙O的半径,
∴ BF是⊙O的切线.
（2）∵ ∠FBO=∠FCO=90°，
∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.
∵ OA=OC，
∴ ∠ACO=∠A.
∴ ∠FCM=∠M.                                     
易证△ACB∽△ABM,
∴ .
∵ AB=4，MC=6，
∴ AC=2.   
∴ AM=8，BM==.
∴cos∠MC F =cosM ==.
∴ ∠MCF=30°.