题目内容
【题目】抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：将A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣4得：
，
解得： 
，
∴抛物线的解析式：y= 
x2﹣ 
x﹣4
（2）
解：当x=0时，y=﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC=4，
∵四边形DECB是菱形，
∴OD=OC=4，
∴D（0，4），
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、D（0，4）代入得： 
，
解得： 
，
∴BD的解析式为：y=﹣ 
x+4，
∵l⊥x轴，
∴M（m，﹣ m+4）、Q（m， m2﹣ m﹣4），
如图1，∵MQ∥CD，
∴当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=4﹣（﹣4），
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4，
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形
（3）
解：如图2，要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，N点到BC的距离与Q到BC的距离相等；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、C（0，﹣4）代入得： 
，
解得： 
，
∴直线BC的解析式为：y= x﹣4，
由（2）知：当P（4，0）时，四边形DCQM为平行四边形，
∴BM∥QC，BM=QC，
得△MFB≌△QFC，
分别过M、Q作BC的平行线l1、l2，
所以过M或Q点的斜率为的 直线与抛物线的交点即为所求，
当m=4时，y=﹣ m+4=﹣ ×4+4=2，
∴M（4，2），
当m=4时，y= m2﹣ m﹣4= ×16﹣ ×4﹣4=﹣6，
Q（4，﹣6），
①设直线l1的解析式为：y= x+b，
∵直线l1过Q点时，
∴﹣6= ×4+b，b=﹣8，
∴直线l1的解析式为：y= x﹣8，
则 
，
= x﹣8，
解得x1=x2=4（与Q重合，舍去），
②∵直线l2过M点，
同理求得直线l2的解析式为：y= x，
则 
，
= x，
x2﹣x﹣16=0，
解得x1=4+4 
，x2=4﹣4 ，
代入y= x，得 
， 
，
则N1（4+4 ，2+2 ），N2（4﹣4 ，2﹣2 ），
故符合条件的N的坐标为N1（4+4 ，2+2 ），N2（4﹣4 ，2﹣2 ）．
【解析】（1）直接将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，列方程组可求a、b的值，写出解析式即可；（2）先求点C和D的坐标，求直线BD的解析式，根据横坐标m表示出点Q和M的纵坐标，由MQ∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明MQ=CD即可，因此列等式：（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=4﹣（﹣4），求m即可；（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，可先判断四边形CQBM是平行四边形，解得M点到BC的距离与Q到BC的距离相等，所以过M或Q点的与直线BC平行的直线与抛物线的交点即为所求，列方程组可得结论．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．
