题目内容

如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD=4，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，顶点为N﹒
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；
（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由﹒

解：（1）连接DM，∵⊙M的直径5，
∴DM= $\text{[math]}$ ，
∵CD=4，
∴OD=0C=2，
∴C点的坐标为（0，-2），
∴OM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OA= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
∴OB=5-OA=4，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0）
由A、B两点坐标，设抛物线y=a（x+1）（x-4），将C（0，-2）代入，得a= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ （x+1）（x-4），
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2；

（2）直线CN与⊙M相切；
连接CM，设过CN直线的解析式为y=kx+b，
设抛物线的顶点为N，则N点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴CN直线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x-2，
∴点E的坐标为（- $\text{[math]}$ ，0），
∴CE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EM=OE+OM= $\text{[math]}$ ，
∵CM²= $\text{[math]}$ ，CE²= $\text{[math]}$ ，EM²= $\text{[math]}$ ，
∴CM²+CE²=EM²，
∴△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，
∴直线CN与⊙M相切；

（3）存在符合条件的点P，
当AB为平行四边形的一边时，PQ∥AB，PQ=AB=5，P点横坐标为 $\text{[math]}$ +5= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ -5=- $\text{[math]}$ ，
分别代入抛物线解析式，得y= $\text{[math]}$ ，
当AB为平行四边形的对角线时，P为抛物线顶点，
∴P点的坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）若要求经过A、B、C三点的抛物线解析式，则可求出A、B、C三点的坐标即可；
（2）连接MC，再证明CM⊥EN即可；
（3）存在，根据AB为平行四边形的边，对角线两种情况，分别P点坐标．
点评：此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及平行四边和圆的切线的有关知识的运用，是一道综合性很强的题目，难度较大．