Question

【题目】（10分）把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．

（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；

（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) BH=CK;(2) 存在，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时BH的长度为．

【解析】（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；
（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，代入得出方程x2-3x+9=××6×6，求出即可．

解：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：

连接OC，

由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，

∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，

∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，

∴∠CGB=90°=∠KGH，

∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，

在△CGK和△BGH中

∵，

∴△CGK≌△BGH（ASA），

∴CK=BH，即BH=CK；

四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；

（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置．

设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB﹣BH=6﹣x，

∴S△CHK=CH×CK=3x﹣x2，

∴S△GHK=S四边形CKGH﹣S△CKH=9﹣（3x﹣x2）=x2﹣3x+9，

∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，

∴x2﹣3x+9=××6×6，

解得， （经检验，均符合题意）．

∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时x的值为．

“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目．