Question

【题目】对于长度为4的线段AB（图1），小若用尺规进行如下操作（图2）根据作图痕迹，有下列说法：①△ABC是等腰三角形；②△ABC是直角三角形；③△ABC是等边三角形；④弧AD的长度为，⑤△ABC是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角，则其中正确的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用作图得到得PQ垂直平分AB，点O为AB的中点，CE＝CB，以AB为直径作⊙O，则CA＝CB，所以△ABC为等腰三角形，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则△ACB为等腰直角三角形，然后计算∠ABD＝22.5°，则∠AOD＝45°，根据弧长公式可计算出 的长度，从而可对各选项进行判断．

解：由作法得PQ垂直平分AB，点O为AB的中点，CE＝CB，以AB为直径作⊙O，

∵PQ垂直平分AB，

∴CA＝CB，即△ABC为等腰三角形，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，所以⑤正确

∴△ACB为等腰直角三角形，所以①②正确，③错误；

∵CB＝CE，

∴∠CBE＝∠CEB，

∵∠OCB＝∠OBC＝45°，

∴∠CBE＝（180°﹣45°）＝67.5°，

∴∠ABD＝∠CBE﹣∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，

∴∠AOD＝45°，

∴的长度，所以④错误．

故选：C．