题目内容
【题目】若直线 y mx 8 和 y nx 3 都经过 x 轴上一点 B,与 y 轴分别交于 A 、C.
(1)写出 A、C 两点的坐标,A ,C ;
(2)若∠ABO=2∠CBO,求直线 AB 和 CB 的解析式;
(3)在(2)的条件下若另一条直线过点 B,且交 y 轴于 E,若△ABE 为等腰三角形,写点 E 的坐标(只写结果).
【答案】(1)(0,8),(0,3);(2)直线AB:yx+8,直线CB:yx+3;(3)E的坐标为(0,18)或 (0,-2)或 (0,-8)或 (0,).
【解析】
(1)由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标;
(2)由直线y=mx+8得B(,0),即OB,而AO=8,利用勾股定理求AB,根据角平分线性质得比例求m的值,再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可;
(3)根据(2)的条件,分别以A、B为圆心,AB长为半径画弧与y轴相交,作AB的垂直平分线与y轴相交,分别求交点坐标.
(1)在y=mx+8和y=nx+3中,令x=0,得A(0,8),C(0,3).
故答案为:(0,8),(0,3);
(2)令直线y=mx+8中y=0,得B(,0),即OB,又AO=8,∴AB8.
∵∠ABO=2∠CBO,∴,即245,解得m,又由y=nx+3经过点B,得,解得n,∴直线AB:yx+8,直线CB:yx+3;
(3)由(2)可知OB=6,AB10,当△ABE为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①以A为圆心,AB为半径画圆,与y轴交于两点E1,E2,则AE1=AE2=AB=10,∴E1(0,18),E2(0,-2);
②以B为圆心,AB为半径画圆,与y轴交于点E3,则OE3=OA=8,∴E3(0,-8);
③作线段AB的垂直平分线交y轴于E4,设E4(0,y),∴AE4=BE4,∴,解得:y=,∴E4(0,).
综上所述:E的坐标为(0,18)或 (0,-2)或 (0,-8)或 (0,).