Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于

点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，

使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

解：（1）当y=0时，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3．

∵点A在点B的左侧，∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．

当x=0时，y=3．∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁（k₁≠0），则，解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，　∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①     当点Q在Q位置时，Q的纵坐标为3，

代入抛物线可得点Q的坐标为（2，3）；

②     当点Q在点Q位置时，点Q的纵坐标为﹣3，

代入抛物线可得点Q坐标为（1+，﹣3）；

③     当点Q在Q位置时，点Q的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点QQ3的坐标为（1﹣，﹣3）；

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，

过点B′作B′E⊥x轴于点E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC～Rt△AFB，∴，

∵OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．

∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴，∴，

即．∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．

∴点B′的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k₂x+b₂（k₂≠0）．∴，

解得，∴直线B'D的解析式为：y=x+，

联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得，

∴M点的坐标为（，）．