Question

如图，N是抛物线y=x²-2x-3的顶点，且与x轴交于Q、M两点．
（1）求N点的坐标；
（2）设抛物线顶点为N，与y轴交点为A，求tan∠AON的值；
（3）求四边形OANM的面积．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式进行配方，即可得顶点N的坐标．
（2）过N作y轴的垂线，设垂足为B，在Rt△OBN中，由N点的坐标可知OB、BN的长，则∠AON的正切值可求．
（3）四边形OANM的形状不规则，其面积可由图形间的面积和差关系来解，观察图形，可由梯形OBNM的面积减去Rt△ABN的面积求得．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点N（1，-4）．

（2）过N作NB⊥y轴于B；
在Rt△OBN中，BN=1，OB=4，则：
tan∠AON=

BN

OB

=

1

4

．

（3）由抛物线y=x²-2x-3知，A（0，-3）、M（3，0），即：OA=3，OM=3；
∴S_{四边形OANM}=S_梯形OBNM-S_△ABN
=

1

2

（OM+BN）×OB-

1

2

AB×BN
=

1

2

×（3+1）×4-

1

2

×1×1=7.5
即四边形OANM的面积为7.5．

点评：此题是二次函数的基础题目，涉及了解直角三角形以及图形面积的解法，作对辅助线即可正确解题．