题目内容

如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是
等腰
等腰
三角形；
（2）若抛物线抛物线m：y=a（x-2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，请求出a，b满足的关系式；
（3）如图，△OAB是抛物线n：y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据抛物线的对称性进行判断；
（2）由于抛物线三角形是等腰三角形，则得到本题中的“物线三角形”是等腰直角三角形，再确定抛物线的顶点坐标为（2，b），抛物线与x轴两交点之间的线段长=2
-
b
a
，如何根据等腰直角三角形的性质得到|b|=
1
2
×2
-
b
a
，然后化简即可得到a与b的关系；
（3）作AH⊥OB于H点，先得到B点坐标为（b′，0），A点坐标为（
b′
2
，
b′2
4
），再根据矩形的性质可判△OAB为等边三角形，根据等边三角形的性质得AH=
3
2
OB，即
b′2
4
=
3
2
b′，解得b′=2
3
，则可确定A、B两点坐标，然后根据关于原点中心的性质可确定C点与D点坐标，最后利用待定系数法求抛物线的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴“抛物线三角形”是等腰三角形；
故答案为等腰；

（2）∵y=a（x-2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，
抛物线的顶点坐标为（2，b），
把y=0代入y=a（x-2）2+b得a（x-2）2+b=0，解得x=2±
-
b
a
，
∴抛物线y=a（x-2）2+b（ab＜0）与x轴两交点的坐标为（2+
-
b
a
，0），（2-
-
b
a
，0），
∴抛物线y=a（x-2）2+b（ab＜0）与x轴两交点之间的线段长=2
-
b
a
，
∴|b|=
1
2
×2
-
b
a
，
∴b2=-
b
a
，
∴ab=-1；

（3）存在．作AH⊥OB于H点，如图，
把y=0代入y=-x2+b′x得-x2+b′x=0，解得x1=0，x2=b′，
∴B点坐标为（b′，0），
∵y=-x2+b′x=-（x-
b′
2
）2+
b′2
4
，
∴A点坐标为（
b′
2
，
b′2
4
），
∵矩形ABCD以原点O为对称中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB为等边三角形，
∴AH=
3
2
OB，
∴
b′2
4
=
3
2
b′，解得b′=2
3
，
∴A点坐标为（
3
，3），B点坐标为（2
3
，0）
∴C点坐标为（-
3
，-3），D点坐标为（-2
3
，0），
设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax（x+2
3
），
把C（-
3
，-3）代入得a•（-
3
）（-
3
+2
3
）=-3，
解得a=1，
∴所求抛物线的表达式为y=x（x+2
3
）=x2+2
3
x．
点评：本题考查了抛物线的综合题：熟练掌握二次函数的性质，并且根据二次函数的性质确定几何图形的性质和确定点的坐标；会运用等腰直角三角形、等边三角形和矩形的性质建立等量关系，将函数问题转化为方程问题．
练习册系列答案
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如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=-
13
x2+2重合，且顶点坐标为（4，-2），则它的解析式为
．
如果一条抛物线的形状与y=-
13
x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，-2），则它的函数关系式是
 
．
如果一条抛物线的形状与y=-x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，-2），则它的解析式是
 
．
如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”．
（1）若抛物线三角形系数为[-1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（2）若△OAB是“抛物线三角形”，其中点B为顶点，抛物线三角形系数为[-2，2m，0]，其中m＞0；且四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，求出过O、C、D三个点的抛物线的表达式．

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