Question

如图，P是抛物线 y1=x2-6x+9对称轴上的一个动点，在对称轴左边的直线x=t平行于y轴，分别与直线y₂=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=

3-

3

或2

．

Answer 1

分析：根据抛物线的解析式与直线的解析分别表示出点A、B的坐标，再求出AB的长度，再根据抛物线解析式求出对称轴，然后表示出点P到直线x=t的长度，然后根据等腰直角三角形的直角边相等列出方程求解即可．

解答：解：根据题意，x=t时，点A的坐标为（t，t），
点B的坐标为（t，t²-6t+9），
所以，AB=|t²-6t+9-t|=|t²-7t+9|，
∵y=x²-6x+9=（x-3）²，
∴对称轴为直线x=3，
∵点P是抛物线y=x²-6x+9对称轴上的一个动点，
∴点P到直线x=t的距离为3-t，
∵△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴|t²-7t+9|=3-t，
∴t²-7t+9=3-t或t²-7t+9=-（3-t），
整理得，t²-6t+6=0①或t²-8t+12=0②，
解方程①得t₁=3+

3

，t₂=3-

3

，
解方程②得，t₁=2，t₂=6，
∵直线x=t在对称轴左边，
∴t的值为3-

3

或2．
故答案为：3-

3

或2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象与二次函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质，根据两点间的距离列出绝对值方程是解题的关键．