题目内容
【题目】如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点C的纵坐标是
时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；
（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．
【答案】（1）y＝-
x2+3x；（2）(4，2)；（3）
【解析】
（1）先求出直线AB的解析式，求出点B坐标，再将A，B的坐标代入y＝ax2+bx即可；
（2）求出直线AC的解析式，再联立直线OC与直线AB的解析式即可；
（3）设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，分别求出直线OB，PM，OC的解析式，再分别用含a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，最后分情况讨论，可求出△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．
解：（1）∵直线y＝﹣x+m点A（6，0），
∴﹣6+m＝0，
∴m＝6，
∴yAB＝﹣x+6，
∵OA＝3OH，
∴OH＝2，
在yAB＝﹣x+6中，当x＝2时，y＝4，
∴B（2，4），
将A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx，
得，
，
解得，a＝﹣，b＝3，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+3x；
（2）∵直线OC与抛物线AB段交于点C，且点C的纵坐标是
，
∴＝﹣x2+3x，
解得，x1＝1（舍去），x2＝5，
∴C（5，），
设yOC＝kx，
将C（5，）代入，
得，k＝，
∴yOC＝x，
联立
，
解得，x＝4，y＝2，
∴点D的坐标为（4，2）；
（3）设直线OB的解析式为yOB＝mx，点P坐标为（a，﹣a+6），
将点B（2，4）代入，
得，m＝2，
∴yOB＝2x，
由平移知，PM∥OB，
∴设直线PM的解析式为yPM＝2x+n，
将P（a，﹣a+6）代入，
得，﹣a+6＝2a+n，
∴n＝6﹣3a，
∴yPM＝2x+6﹣3a，
设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，
联立
，
解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2，
∴G（2a﹣4，a﹣2），yG＝a﹣2，
在yPM＝2x+6﹣3a中，
当y＝0时，x＝
，
∴E（，0），OE＝，
∵点P的横坐标为a，
∴K（a，a），F（a，0），
∴OF＝a，KF＝a，
设△MPN与△OAC公共部分面积为S，
①当0≤a＜4时，
S＝S△OFK﹣S△OEG，
＝×a×a﹣（）（a﹣2），
＝﹣a2+3a﹣3
＝﹣（a﹣3）2+，
∵﹣＜0，根据二次函数的图象及性质可知，
∴当a＝3时S有最大值；
②当4≤a≤6时，
S＝S△PEF
＝EFPF
＝（a﹣a+3）（﹣a+6）
＝
＝
，
∵
，根据二次函数的图象及性质知，当a＝4时，S有最大值1；
∵
∴△MPN与△OAC公共部分面积的最大值为．
