题目内容

【题目】如图1,在ABO中,OAB=90°,AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.

(1)求点B的坐标;

(2)求证:四边形ABCE是平行四边形;

(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

【答案】(1)(4,4);(2)详见解析;(3)OG=1.

【解析】

试题分析:(1)由在ABO中,OAB=90°,AOB=30°,OB=8,根据三角函数的知识,即可求得AB与OA的长,即可求得点B的坐标;(2)首先可得CEAB,D是OB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证得BD=AD,ADB=60°,又由OBC是等边三角形,可得ADB=OBC,根据内错角相等,两直线平行,可证得BCAE,继而可得四边形ABCD是平行四边形;(3)首先设OG的长为x,由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,然后根据勾股定理可得方程(8﹣x)2=x2+(42,解此方程即可求得OG的长.

试题解析:OAB中,OAB=90°,AOB=30°,OB=8,

OA=OBcos30°=8×=4

AB=OBsin30°=8×=4,

点B的坐标为(4,4);

(2)证明:∵∠OAB=90°,

ABx轴,

y轴x轴,

ABy轴,即ABCE,

∵∠AOB=30°,

∴∠OBA=60°,

DB=DO=4

DB=AB=4

∴∠BDA=BAD=120°÷2=60°,

∴∠ADB=60°,

∵△OBC是等边三角形,

∴∠OBC=60°,

∴∠ADB=OBC,

即ADBC,

四边形ABCE是平行四边形;

(3)解:设OG的长为x,

OC=OB=8,

CG=8﹣x,

由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,

在RtAOG中,AG2=OG2+OA2

即(8﹣x)2=x2+(42

解得:x=1,

即OG=1.

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