题目内容
【题目】如图,已知抛物线与
轴交于点
和点
,交
轴于点
.过点
作
轴,交抛物线于点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线与线段
、
分别交于
、
两点,过
点作
轴于点
,过点
作
轴于点
,求矩形
的最大面积;
(3)若直线将四边形
分成左、右两个部分,面积分别为
、
,且
,求
的值.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)3;(3).
【解析】(1)利用待定系数法即可得出结论;
(2)先利用待定系数法求出直线AD,BD的解析式,进而求出G,H的坐标,进而求出GH,即可得出结论;
(3)先求出四边形ADNM的面积,再求出直线y=kx+1与线段CD,AB的交点坐标,即可得出结论.
(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴x2+2x﹣3=﹣3,
∴x=0或x=﹣2,
∴D(﹣2,﹣3),
∵A(﹣3,0)和点B(1,0),
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9,直线BD的解析式为y=x﹣1,
∵直线y=m(﹣3<m<0)与线段AD、BD分别交于G、H两点,
∴G(﹣m﹣3,m),H(m+1,m),
∴GH=m+1﹣(﹣m﹣3)=
m+4,
∴S矩形GEFH=﹣m(m+4)=﹣
(m2+3m)=﹣
(m+
)2+3,
∴m=﹣,矩形GEFH的最大面积为3.
(3)∵A(﹣3,0),B(1,0),
∴AB=4,
∵C(0,﹣3),D(﹣2,﹣3),
∴CD=2,
∴S四边形ABCD=×3(4+2)=9,
∵S1:S2=4:5,
∴S1=4,
如图,设直线y=kx+1与线段AB相交于M,与线段CD相交于N,
∴M(﹣,0),N(﹣
,﹣3),
∴AM=﹣+3,DN=﹣
+2,
∴S1=(﹣+3﹣
+2)×3=4,
∴k=
