Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x²-2x-3=0的两根．
（1）m，n的值．
（2）求抛物线的解析式．
（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD．当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）解方程即可得出m，n的值．
（2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（3）首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．

解答：解：（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3．

（2）∵m=-1，n=3，
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0）．
∴

-1=a-b -3=9a+3b

，
解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x．

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴

-1=-k+b -3=3k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x-

3

2

．
∴C点坐标为（0，-

3

2

）．
∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），
∴直线OB的解析式为y=-x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，-x），
（i）当OC=OP时，x²+（-x）²=

9

4

．
解得x₁=

3 2

4

，x₂=-

3 2

4

（舍去）．
∴P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P₂（

3

4

，-

3

4

）．
（iii）当OC=PC时，由x²+（-x+

3

2

）²=

9

4

，
解得x₁=

3

2

，x₂=0（舍去）．
∴P₃（

3

2

，-

3

2

）．
∴P点坐标为P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

），P₂（

3

4

，-

3

4

），P₃（

3

2

，-

3

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用．