Question

【题目】定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：张同学画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；

（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=45°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4 ．则对角线AC的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；

（2）

证明：如图2所示，连接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

（3）
【解析】（3）解：分两种情况：
①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=45°，AB=5，∴∠E=45°，
∴AE= AB=5 ，
∴DE=AE﹣AD=5 ﹣4 ═ ，
∵∠EDC=90°，∠E=45°，
∴CD= ，
∴AC= = = ；
②当∠BCD=∠DAB=45°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：

则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB=45°，
∴∠ADM=45°，
∴AM=DM= AD=4，
∴BM=AB﹣AM=5﹣4=1，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN=BM=1，BN=DM=4，
∵∠BCD=45°，
∴CN=DN=1，
∴BC=CN+BN=5，
∴AC= =5 ；
故此情况不存在．
综上所述：AC的长为 ，
所以答案是： ．
（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；（2）连接BD，由AB=AD，得出∠ABD=∠ADB，证出∠CBD=∠CDB，即可得出CB=CD；（3）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用等腰直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；②当∠BCD=∠DAB=45°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=1，BN=DM=4，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和勾股定理的概念，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．