题目内容
如图，已知矩形ABCD中，AB=40，BC=60，点E为AD中点．点P从点B出发沿折线BE-EC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒3个单位长的速度向点C匀速运动．当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止运动．设点P，Q的运动时间是t秒（t＞0）．（1）当点P沿着BE方向运动到点E位置时，请你确定此时点Q的位置；
（2）当点P在BE上运动时（不包括B，E），请你判断四边形ABQP的形状，并说明理由；
（3）设四边形ABQP的面积为S，请你写出S与t的函数关系式；
（4）在点P，Q的运动过程中，四边形ABQP的面积S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）点Q位于BC的中点，根据矩形的性质和已知条件解答即可；
（2）四边形ABQP是直角梯形，过点E作EF⊥BC与点F，利用两边比值相等以及其夹角相等时两个三角形相似判定△PBQ∽△EBF，再有相似的性质即可证明四边形ABQP是直角梯形；
（3）本题需要分①当0＜t＜10时②当t=10时，③当10＜t＜20时三种情况讨论，再分别求出出S与t的函数关系式；
（4）有（3）可知每种情况下的s与t的函数关系式，利用梯形的面积公式和矩形的面积公式以及二次函数的最值求出其面积，再比较大小即可．
解答：
解：（1）∵在矩形ABCD中，点E为AD的中点，
∴AE=30，
∵AB=40，
∴BE=50，t=50÷5=10，
∴BQ=10×3=30．
∴此时点Q位于BC的中点；
（2）四边形ABQP是直角梯形．
如图3，当点P在BE上运动时，过点E作EF⊥BC与点F．
则BF=30，BP=5t，BQ=3t，
又∵BE=50，
∴
，
又∵∠PBQ=∠EBF．
∴△PBQ∽△EBF，
∴∠PQB=∠EFB=90°．
∴PQ∥EF∥AB，
∴四边形ABQP是直角梯形；
（3）①当0＜t＜10时，由（2）可知四边形ABQP是直角梯形，
∴S=
（PQ+AB）BQ=
（4t+40）×3t=6t2+60t，
②当t=10时，易知四边形ABQP是矩形，
∴S=30×40=1200，
③当10＜t＜20时，如图4，过点P作PN⊥EF与点N，
则∠PNE=∠CFE=90°，
又∵∠PEN=∠CEF，
∴△PEN∽△CEF．
∴
．
又∵EP=5t-50，EC=50，CF=30，EF=40．
∴EN=4t-40，PN=3t-30，
又∵BQ=3t，
∴FQ=3t-30，
∴PN=FQ，易知四边形NFQP为矩形，
∴PQ∥NF，PQ=NF=80-4t．
∴PQ∥AB，
∴四边形ABQP为直角梯形．
∴S=
（PQ+AB）BQ=
（80-4t+40）×3t=-6t2+180t（10＜t＜20）；
（4）当0＜t＜10时，S=6t2+60t，0＜S＜1200；
当t=10时，S=1200；
当10＜t＜20时，S=-6t2+180t=-6（t-15）2+1350，
当t=15时，S=1350．
综上所述，四边形ABQP的面积S存在最大值，最大值为1350．
点评：本题综合性的考查了矩形的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质、直角梯形的性质和判定、矩形的面积公式梯形的面积公式以及二次函数的最值问题和讨论讨论思想，题目难度很大，综合性很强，是一道中考压轴题．
（2）四边形ABQP是直角梯形，过点E作EF⊥BC与点F，利用两边比值相等以及其夹角相等时两个三角形相似判定△PBQ∽△EBF，再有相似的性质即可证明四边形ABQP是直角梯形；
（3）本题需要分①当0＜t＜10时②当t=10时，③当10＜t＜20时三种情况讨论，再分别求出出S与t的函数关系式；
（4）有（3）可知每种情况下的s与t的函数关系式，利用梯形的面积公式和矩形的面积公式以及二次函数的最值求出其面积，再比较大小即可．
解答：
解：（1）∵在矩形ABCD中，点E为AD的中点，∴AE=30，
∵AB=40，
∴BE=50，t=50÷5=10，
∴BQ=10×3=30．
∴此时点Q位于BC的中点；
（2）四边形ABQP是直角梯形．
如图3，当点P在BE上运动时，过点E作EF⊥BC与点F．
则BF=30，BP=5t，BQ=3t，
又∵BE=50，
∴
，又∵∠PBQ=∠EBF．
∴△PBQ∽△EBF，
∴∠PQB=∠EFB=90°．
∴PQ∥EF∥AB，
∴四边形ABQP是直角梯形；
（3）①当0＜t＜10时，由（2）可知四边形ABQP是直角梯形，
∴S=
（PQ+AB）BQ=（4t+40）×3t=6t2+60t，②当t=10时，易知四边形ABQP是矩形，
∴S=30×40=1200，
③当10＜t＜20时，如图4，过点P作PN⊥EF与点N，
则∠PNE=∠CFE=90°，
又∵∠PEN=∠CEF，
∴△PEN∽△CEF．
∴
．又∵EP=5t-50，EC=50，CF=30，EF=40．
∴EN=4t-40，PN=3t-30，
又∵BQ=3t，
∴FQ=3t-30，
∴PN=FQ，易知四边形NFQP为矩形，
∴PQ∥NF，PQ=NF=80-4t．
∴PQ∥AB，
∴四边形ABQP为直角梯形．
∴S=
（PQ+AB）BQ=（80-4t+40）×3t=-6t2+180t（10＜t＜20）；（4）当0＜t＜10时，S=6t2+60t，0＜S＜1200；
当t=10时，S=1200；
当10＜t＜20时，S=-6t2+180t=-6（t-15）2+1350，
当t=15时，S=1350．
综上所述，四边形ABQP的面积S存在最大值，最大值为1350．
点评：本题综合性的考查了矩形的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质、直角梯形的性质和判定、矩形的面积公式梯形的面积公式以及二次函数的最值问题和讨论讨论思想，题目难度很大，综合性很强，是一道中考压轴题．
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