题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为(﹣4,0)、(4,0),C(m,0)是线段AB上一动点(与A、B两点不重合),抛物线l1:y=ax2+b1x+c1(a>0)经过点A、C,顶点为D,抛物线l2:y=ax2+b2x+c2(a>0)经过点C、B,顶点为E,直线AD、BE相交于F.
(1)若a=,m=﹣1,求抛物线l1、l2的解析式;
(2)若a=1,∠AFB=90°,求m的值;
(3)如图2,连接DC、EC,记△DAC的面积为S1,△ECB的面积为S2,△FAB的面积为S,问是否存在点C使得2S1S2=aS,若存在,请求出C的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)L1解析式为y=x2+x+2;L2解析式为y=x2﹣x﹣2;(2)m=±2;(3)C(2,0)或(﹣2,0).
【解析】
(1)利用待定系数法,将A,B,C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式;
(2)过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H,易证△ADG~△EBH,根据相似三角形对应边比例相等即可解题;
(3)构建一次函数,利用方程组求出点F坐标,再根据2S1S2=aS,构建方程求出m即可解决问题;
解:(1)解:(1)将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中,可得:,解得:,
∴抛物线L1解析式为y=x2++2;
同理可得:,解得:,
∴抛物线L2解析式为y=x2﹣x﹣2;
(2)如图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H,
由题意得:,解得:,
∴抛物线L1解析式为y=x2+(4﹣m)x﹣4m;
∴点D坐标为(,﹣),
∴DG=,AG=;
同理可得:抛物线L2解析式为y=x2﹣(m+4)x+4m;
∴EH=,BH=,
∵AF⊥BF,DG⊥x轴,EH⊥x轴,
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°,
∵∠DAG+∠ADG=90°,∠DAG+∠EBH=90°,
∴∠ADG=∠EBH,
∵在△ADG和△EBH中,
,
∴△ADG~△EBH,
∴,
∴=,化简得:m2=12,
解得:m=±2;
(3)设L1:y=a(x+4)(x﹣m)=ax2+(4﹣m)ax﹣4ma,L2:y=a(x﹣4)(x﹣m)=ax2﹣(4+m)ax+4ma,
∴D(,﹣ a),E(,﹣ a),
∴直线AF的解析式为y=﹣x﹣2a(m+4),直线BF的解析式为y=﹣x+2a(m﹣4),
由,解得,
∴F(﹣m,),
∵2S1S2=aS,
∴2××(m+4)×a××(4﹣m)×=a××8×[﹣a],
整理得:(m2﹣16)2=64,
∴m2﹣16=±8,
解得m=±2或±2(舍弃),
∴C(2,0)或(﹣2,0);