题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为(﹣4,0)、(4,0),C(m,0)是线段AB上一动点(与A、B两点不重合),抛物线l1:y=ax2+b1x+c1(a0)经过点A、C,顶点为D,抛物线l2:y=ax2+b2x+c2(a0)经过点C、B,顶点为E,直线AD、BE相交于F.

(1)若a=,m=﹣1,求抛物线l1、l2的解析式;

(2)若a=1,AFB=90°,求m的值;

(3)如图2,连接DC、EC,记△DAC的面积为S1ECB的面积为S2FAB的面积为S,问是否存在点C使得2S1S2=aS,若存在,请求出C的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)L1解析式为y=x2+x+2;L2解析式为y=x2x﹣2;(2)m=±2;(3)C(2,0)或(﹣2,0).

【解析】

(1)利用待定系数法,将A,B,C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式;

(2)过点DDG⊥x轴于点G,过点EEH⊥x轴于点H,易证△ADG~△EBH,根据相似三角形对应边比例相等即可解题;

(3)构建一次函数,利用方程组求出点F坐标,再根据2S1S2=aS,构建方程求出m即可解决问题;

解:(1)解:(1)将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中,可得:,解得:

∴抛物线L1解析式为y=x2++2;

同理可得:,解得:

∴抛物线L2解析式为y=x2x﹣2;

(2)如图,过点DDGx轴于点G,过点EEHx轴于点H,

由题意得:,解得:

∴抛物线L1解析式为y=x2+(4﹣m)x﹣4m;

∴点D坐标为(,﹣),

DG=,AG=

同理可得:抛物线L2解析式为y=x2﹣(m+4)x+4m;

EH=,BH=

AFBF,DGx轴,EHx轴,

∴∠AFB=AGD=EHB=90°,

∵∠DAG+∠ADG=90°,DAG+∠EBH=90°,

∴∠ADG=EBH,

∵在△ADG和△EBH中,

∴△ADG~△EBH,

=,化简得:m2=12,

解得:m=±2

(3)设L1:y=a(x+4)(x﹣m)=ax2+(4﹣m)ax﹣4ma,L2:y=a(x﹣4)(x﹣m)=ax2﹣(4+m)ax+4ma,

D(,﹣ a),E(,﹣ a),

∴直线AF的解析式为y=﹣x﹣2a(m+4),直线BF的解析式为y=﹣x+2a(m﹣4),

,解得

F(﹣m,),

2S1S2=aS,

2××(m+4)×a××(4﹣m)×=a××8×[a]

整理得:(m2﹣16)2=64,

m2﹣16=±8,

解得m=±2或±2(舍弃),

C(2,0)或(﹣2,0);

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