Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是_______，证明你的结论．

（2）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足____条件时，四边形EFGH是矩形；（只需要写结论，不需证明）

（3）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足______条件时，四边形EFGH是菱形．（只需要写结论，不需证明）

Answer 1

【答案】（1）平行四边形，证明见详解；（2）AC⊥BD；（3）AC=BD．

【解析】

（1）连结BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，从而得到EH∥FG，EH=FG，即可得证四边形EFGH为平行四边形；

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行分析即可；

（3）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行分析即可．

解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，
如图，连结BD，

∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

（2）当AC与BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，
如图，连结AC、BD，

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
若AC⊥BD，
则EH⊥HG，即∠EHG为直角，
又由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形，

故答案为：AC⊥BD；

（3）当AC与BD满足AC=BD时，四边形EFGH是菱形，

∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=AC， EH=BD，

若AC=BD，则HG=EH，
又由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH为菱形，

故答案为你：AC=BD．