题目内容
正方形的边长为4,、分别是、上的两个动点,当点在上运动时,始终保持和垂直,
(1)证明:;
(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;
(3)当点运动到什么位置时,?并求出此时BM的长.
【答案】
(1)证明见解析(2)当点为BC中点时,四边形面积最大,最大面积是10(3)当点运动到的中点时,,
【解析】证明(1)在正方形中
在中,
··························· 4分
(2)
当时,取最大值,最大值为10.······················ 8分
当点为BC中点时,四边形面积最大,最大面积是10;
(3)
要使,必须有
由(1)知
当点运动到的中点时,.
此时,
(1)要证三角形ABM和MCN相似,就需找出两组对应相等的角,已知了这两个三角形中一组对应角为直角,而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角,因此这两个角也相等,据此可得出两三角形相似.
(2)根据(1)的相似三角形,可得出AB,BM,MC,NC的比例关系式,已知了AB=4,BM=x,可用BC和BM的长表示出CM,然后根据比例关系式求出CN的表达式.这样直角梯形的上下底和高都已得出,可根据梯形的面积公式得出关于y,x的函数关系式.然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值,以及此时对应的x的值,也就可得出BM的长.
(3)已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN,如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN,那么两组直角边就应该对应成比例,即AM:MN=AB:BM,根据(1)的相似三角形可得出AM:MN=AB:MC,因此BM=MC,M是BC的中点.即BM=2
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