Question

21、观察下列等式：
第一行     2²-1²=4-1=3
第二行     3²-2²=9-4=5
第三行     4²-3²=16-9=7
第四行     5²-4²=25-16=9
…
（1）请你写出第五行的等式为

6²-5²=36-25=11，

．
（2）按照上述规律，第n行的等式为

（n+1）²-n²=2n+1

．
（3）请你利用已学过的知识对你得到的等式进行证明．

Answer 1

分析：（1）观察原题中的等式发现，被减数的底数比行数多1，且减数的底数等于行数，而计算结果是从3开始的奇数，从而得到第5行的等式；
（2）根据上述规律，同理猜想得到第n行的等式；
（3）利用平方差公式化简（2）的等式左边，合并后得到与等式的右边相等，得证．

解答：解：（1）把原等式变形得：
第一行 （1+1）²-1²=4-1=3=2×1+1；
第二行 （2+1）²-2²=9-4=5=2×2+1；
第三行 （3+1）²-3²=16-9=7=2×3+1；
第四行 （4+1）²-4²=25-16=9=2×4+1；
则第五行的等式为（5+1）²-5²=36-25=11=2×5+1，即6²-5²=36-25=11，
（2）按照上述规律，第n行的等式为：（n+1）²-n²=2n+1，
（3）证明：等式左边=[（n+1）+n][（n+1）-n]=2n+1=右边，得证．
故答案为：（1）6²-5²=36-25=11；（2）（n+1）²-n²=2n+1

点评：此题考查了平方差公式的灵活运用，考查了学生提出猜想，证明猜想，归纳总结得出结论的能力，是一道规律型的基础题．