题目内容
如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,
,,把绕着点顺时针旋转得到,(点旋转到点的位置),抛物线经过,两点,与轴的另一个交点为点,顶点为点,对称轴为直线,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)联结,求四边形的面积;
(3)在抛物线上是否存在一点,使得的面积等于四边形的
面积,如果存在,求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.
(1)由题意得:B(0,2),C(2,0),对称轴x=3
设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+k
∵抛物线抛物线经过B(0,2),C(2,0),
∴ 2=9a+k
0=a+k
解这个方程组得:
∴a=,k= -
∴y= (x-3)2-
∴抛物线的解析式为y=x2-
(2)设对称轴与x轴的交点为N
由图可知:CD=2
S△BCD=CDOB=×2×2=2
S△pCD= CDPN= CD︱Py︱=×2×=
∴S四边形PCBD= S△BCD+ S△pCD=2
(3)假设存在一点M,使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
即:S△MCD= S四边形PCBD
CD︱My︱=×
︱My︱=
又∵点M在抛物线上,
∴︱x2-︱=
∴x2-=±
∴x2-6x+8=±3
∴x2-6x+5=0 或∴x2-6x+11=0
由x2-6x+5=0,得x1=5,x2=1
由x2-6x+11=0
∵ b2-4ac=36-44=-8<0
∴此方程无实根。
当x1=5时,y1=;当x2=1时,y2=
∴存在一点M(5, ),或(1,)使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积