题目内容
【题目】如图所示,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延长线于D点,OC交AB于E点.
(1)求∠D的度数;
(2)求证:AC2=ADCE.
【答案】(1)45°;(2)证明参见解析.
【解析】
试题分析:(1)连接OA,由圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧为同一条弧,根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由∠ABC的度数求出∠AOC的度数,再由OA=OC,根据等边对等角,由顶角∠AOC的度数,利用三角形的内角和定理求出底角∠ACO的度数,再由∠BAC及∠ABC的度数,求出∠ACB的度数,由∠ACB﹣∠ACO求出∠BCE的度数,由OC与AD平行,根据两直线平行同位角相等可得∠D=∠BCE,可得出∠D的度数;(2)由∠ACB的度数,利用邻补角定义求出∠ACD的度数,再由∠AEC为三角形BEC的外角,利用外角性质得到∠AEC=∠ABC+∠BCE,可得出∠AEC的度数,进而得到∠AEC=∠ACD,在三角形ACD中,由∠ACD及∠D的度数,求出∠CAD的度数,可得∠CAD=∠ACE,利用两对对应角相等的三角形相似可得三角形AEC与三角形DCA相似,根据相似三角形的对应边成比例可得证.
试题解析:(1)连接OA,如图所示:
∵圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧都为弧AC,∴∠AOC=2∠ABC,又∠ABC=15°,∴∠AOC=30°,又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA==75°,又∠BAC=45°,∠ABC=15°,∴∠ACB=120°,∴∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣75°=45°,又OC∥AD,∴∠D=∠OCB=45°;(2)∵∠ABC=15°,∠OCB=45°,∴∠AEC=60°,又∠ACB=120°∴∠ACD=60°,∴∠AEC=∠ACD=60°,∵∠D=45°,∠ACD=60°,∴∠CAD=75°,又∠OCA=75°,∴∠CAD=∠OCA=75°,∴△ACE∽△DAC,∴=,即AC2=ADCE.