Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+mx+n（m、n是常数）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线的方程是y=x+2．
（1）求已知抛物线的解析式；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△A′B′C′，求点C′的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，当P在抛物线上从点B运动到点C，求P点纵坐标的取值范围．
（参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（其中a≠0）的顶点坐标为（-，））

Answer 1

解：（1）依题意B（-2，0）、C（0，2），
∵B、C在抛物线y=-x²+mx+n上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+2；

（2）∵抛物线y=-x²+mx+n（m、n是常数）与x轴交于A、B两点，
∴y=-x²-x+2=0，
解得：x=1或x=-2，
∴A的坐标为（1，0），
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴C′（3，1）；

（3）∵y=-x²-x+2=-（x+）²+，
∴此抛物线的顶点为：，
∵B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-＜0，
∴知动点P运动过程经过抛物线的顶点，
又y_B=0，y_C=2，y_B＜y_C，
∴P点纵坐标的取值范围：0≤y_p≤．
分析：（1）首先根据题意求得B与C的坐标，再利用待定系数法将点B与C的坐标代入抛物线的解析式即可求得m与n的值，则可求得此抛物线的解析式；
（2）由（1）即可求得点A的坐标，又由将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△A′B′C′，即可求得点C′的坐标；
（3）首先由抛物线的解析式求得顶点坐标，又由B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-＜0，即可知动点P运动过程经过抛物线的顶点，即可求得P点纵坐标的取值范围．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与x轴的交点问题，以及三角形的旋转问题等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．