Question

【题目】如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．

（1）AE=__________，正方形ABCD的边长=__________；

（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′、C′分别在直线l2，l4上．

①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；

②若α=30°，直接写出菱形AB′C′D′的边长为__________．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①∠B'AD'=90°-α；（3）

【解析】分析：

（1）如下图1，由图结合已知条件可证得△AED≌△DGC，由此即可得到AE=DG=1；

（2）①如下图2，过点B′作B′M垂直于l1于点M，通过证Rt△AED′≌Rt△B′MA可得∠D′AE+∠B′AM=90°，由此可得∠B′AD′+α=90°，即∠B′AD′=90°-α；

②如下图2，由l1∥l2∥l3可过点E′作E′O⊥l1于点O，E′O⊥l3于点N，当α=30°时，易得OE=AE=，∠D′EN=30°，结合ON=3可得EN=，由此易得D′E=，这样在Rt△AD′E中即可由勾股定理求得AD′的长.

详解：

（1）如下图1，由题意可得∠AEF=∠ADC=∠CGD=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

又∵AD=CD，

∴△AED≌△DGC，

∴AE=DG=1，

又∵DE=EF+FD=1+2=3，

∴AD=，即正方形ABCD的边长为；

（2）①∠B′AD′=90°-α；理由如下：

如下图2，过点B′作B′M垂直于l1于点M，

∴∠B′MA=∠D′EA=90°，

由（1）可知MB′=AE=1，又∵AB′=ED′，

∴Rt△AED′≌Rt△B′MA，

∴∠B′AM=∠AD′E，

又∵∠D′AE+∠AD′E=90°，

∴∠D′AE+∠B′AM=90°，

∴∠B′AD′+α=90°，即∠B′AD′=90°-α；

（3）如上图2，由由l1∥l2∥l3可过点E′作E′O⊥l1于点O，E′O⊥l3于点N，

∵α=30°，

∴OE==AE=，∠D′EN=30°，

又∵ON=3，

∴EN=，

∴在Rt△D′EN中，D′E=，

∴在Rt△AD′E中，AD′=，

即菱形AB′C′D′的边长为.