Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，

3

），点B的坐标（-2，0），点O为原点．
（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线经过点A，O，B，运用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线与x轴的交点是C，作CA⊥AB于A，交x轴于点C，这就是满足条件的C，利用解直接三角形就可以求出C点的坐标；
（3）由旋转的旋转，求出O′的坐标，然后代入抛物线的解析式就可以判断该点是否在抛物线上；
（4）由A、B的坐标可以求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，就可以表示出E的坐标，利用面积之比建立等量关系根据两种不同的情况就可以求出P的解析式．

解答：解：（1）设y=ax²+bx+c，根据题意得

4a-2b+c=0 a+b+c= 3 c=0

，
解得

a= 3 3 b= 2 3 3 c=0

，
所以y=

3

3

x²+

2

3

3

x．

（2）C（1，0）或C（2，0）

（3）由题意得O′（-3，

3

），将O′（-3，

3

）代入y=

3

3

x²+

2

3

3

x，左边=右边
∴点O′在函数图象上．

（4）点P坐标为（-

1

2

，-

3

4

）．
∵A的坐标为（1，

3

），点B的坐标（-2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则有

3 =k+b 0=-2k+b

解得：

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AB的解析式为：y=

3

3

x+

2

3

3

假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h，

3

3

h²+

2

3

3

h），
点E坐标为（h，

3

3

h+

2

3

3

），分两种情况：
①△OBE的面积：四边形BPOE面积=2：3，
则[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）]：[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）+

1

2

×2×（-

3

3

h²-

2

3

3

h）]=2：3，
解得h=-

1

2

，此时点P坐标为（-

1

2

，-

3

4

）；
②△AOE的面积：四边形BPOE面积=2：3，
则[

3

-

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）]：[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）+

1

2

×2×（-

3

3

h²-

2

3

3

h）]=2：3，
解得：h=-

1

2

，或h=-2（不合题意，舍去），
此时点P坐标为（-

1

2

，-

3

4

）．
综上所述：点P坐标为（-

1

2

，-

3

4

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三角形的面积，勾股定理的逆定理的运用．