Question

如图，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数y=kx+4的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7．
（1）求k的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q．当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B在一次函数y=kx+4的图象上得出A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，根据四边形ABDC的面积为7代入即可求出k；
（2）设过F、C、D三点的抛物线的解析式y=a（x-1）（x-4），代入求出a即可；
（3）求出PD=t，OP=4-t，PQ=

2t

3

+

4

3

，根据面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵点A、B在一次函数y=kx+4的图象上，
∴A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，
∵四边形ABDC的面积为7，
∴

1

2

[（k+4）+（4k+4）]•3=7，
∴k=-

2

3

，
答：k的值是-

2

3

．

（2）抛物线过F（O，4）、C（1，O）、D（4，0），
设过F、C、D三点的抛物线的解析式是y=a（x-1）（x-4），
把F（0，4）代入求出a=1，
∴y=（x-1）（x-4）=x²-5x+4，
答：过F、C、D三点的抛物线的解析式是y=x²-5x+4．

（3）∵PD=1×t=t，
∴OP=4-t，
PQ=

2t

3

+

4

3

，
S=S_{四边形PQFO}-S_△CFO=-

t2

3

-

4t

3

+

13

15

，（0≤t＜3），
答：四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式是s=-

1

3

t²-

4

3

t+

13

15

，t的取值范围0≤t＜3．

点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，解一元一次方程，三角形、梯形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．