Question

【题目】如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）

（2）

解：联立两解析式可得： ，

解得： ，或 ．

故可得点A的坐标为（ ， ）

（3）

解：如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

= ×2×4+ ×（ +4）×（ ﹣2）﹣ × ×

=4+ ﹣

=

（4）

解：过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y= x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4= ×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y= x+3．

由 ，解得 ， ，

∴点M的坐标为（ ， ）．

【解析】（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA ， 代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y= x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y= x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组 ，解方程组即可求出点M的坐标．