Question

已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点.

（1）求C₁的顶点坐标；

（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；

Answer 1

（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，对称轴为x=﹣1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C₁的顶点坐标为（﹣1，0）；

（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1）²+k=0，得k=﹣4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²﹣4.
∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为A（﹣3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）

（1）将二次函数y=x²+2x+m化成顶点式即可  
（2）由于抛物线C₂是由C₁向下平移若干个单位后，可设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，把点A坐标代入，即可求出C₂的函数关系式，利用抛物线的对称性求与x轴的另一个交点坐标