题目内容
如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s．
（1）设点Q的运动速度为
cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）设点Q的运动速度为
cm/s．①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）①t="6" ②t=－6＋2
（2）①a=
（2）①a=试题分析：（1）①S△DPQ=S矩形ABCD－S△DAP－S△PBQ－S△QCD
=60－
×6×t－×(10－t)×t－×10×(6－t)=
t2－3t＋30=
(t－6)2＋21．∵0≤t≤10，∴当t="6" s时，S△DPQ的最小值为21 cm2．
②当△DAP∽△QBP相似时，有
．即
，解得t1=－6＋2，t2=－6－2（舍去）．∴t=－6＋2
时，△DAP∽△QBP．（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，
则AP=t，AQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1＝∠3＝∠4时，有
．∴
，解得t1=2，t2=18（舍去）．此时a=
．②当∠1＝∠3＝∠5时，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．
此等式不成立．∴不存在这样的a值．
③当∠1＝∠2＝∠4时，有
．∴
，即有
整理，得5t2－36＋180=0，△＜0，方程无实数解．∴不存在这样的a值．
④当∠1＝∠2＝∠5时，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．
综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=
点评：该题分析时较为复杂，以图形的边长为路程，分析时间的变动，以及角的变化，是常考题。
练习册系列答案
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中，点
、
分别在
、
上，
∥
.若
，
，则
的值为
中，
、
、
分别为三边的中点，
点在边
上，
与四边形
的周长相等，设
、
、
.
的长（用含
、
、
的代数式表示）；
平分
;
，如本题图2，若
相似，求证：
.
的边长为12，其内部有一个小正方形
，其中
、
、
分别在
、
上．若
，求小正方形
