题目内容

如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0， $数学公式$ ）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA：OB=3：1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F．直线EF交OC于点Q．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系并证明你的猜想；
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N．试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB．
∴OC²=OA•OB．
∵OA：OB=3：1，C（0， $\text{[math]}$ ），
∴（ $\text{[math]}$ ）²=3OB•OB．
∴OB=1．
∴OA=3．
∴A（-3，0），B（1，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
则 $\text{[math]}$ ．
解之，得 $\text{[math]}$
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）EF与⊙O₁、⊙O₂都相切．
证明：连接O₁E、OE、OF．
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°，
∴四边形EOFC为矩形．
∴QE=QO，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴EF与⊙O₁相切．
同理：EF与⊙O₂相切；

（3）作MP⊥OA于P，设MN=a，由题意可得MP=MN=a．

∵MN∥OA，
∴△CMN∽△CAO．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
解之，得a= $\text{[math]}$ ．
此时，四边形OPMN是正方形．
∴MN=OP= $\text{[math]}$ ．
∴P（- $\text{[math]}$ ，0）．
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PMN是以MN为一直角边的等腰直角三角形．
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且P（- $\text{[math]}$ ，0）或P（0，0）．
分析：（1）已知了C点的坐标，即可求出OC的值，题中告诉了OA，OB的比例关系，因此可用射影定理求出OA，OB的长，即可得出A，B两点的坐标，然后用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）证EF与圆的关系，可连接O₁E，O₂F证是否与EF垂直即可．连接OE，OF，那么四边形EOFC是个矩形，根据矩形的对角线相等且互相平分的特点，可得出QO=QE，那么∠1=∠2，而∠3=∠4，因此可得出∠1+∠3=90°，即可证得，O₁E⊥EF，因此EF是圆O₁的切线，同理可证得EF也是圆O₂的切线，因此EF是两圆的公切线；
（3）①先求PM=MN时，P点的坐标，此时四边形PMNO是个正方形，可根据相似三角形CMN和CAO来求出MN的长，即可得出P点的坐标．
②在①中已经得出四边形MPON是正方形，因此P在O点时，也符合题中的条件，此时P点坐标即为原点坐标．
综上所述即可求出符合条件的P的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、直线与圆的位置关系、等腰直角三角形的判定等知点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．