题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,为等腰直角三角形,
,
.
(1)如图1,直接写出点的坐标;
(2)如图2,若为
边上一动点,连接
,过
作
,交
于点
,交
于点
,点
是
的中点,连接
、
,猜想
的度数,并说明理由.
(3)如图3,在(2)的条件下,过点作
,交
轴于点
,连接
,当点
在边
上(不含端点)运动过程中,等式
是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.
【答案】(1) (4,0);(2)∠FED =45°,理由见解析;(3)成立,理由见解析
【解析】
(1)利用等腰直角三角形的性质,即可求得OB的长,从而求得点B的坐标;
(2)利用垂直的性质得∠AEO=∠AFO=90°,利用四点共圆的知识即可求解;
(3) 作AH∥OC交y轴于点H,证得四边形AGOH为平行四边形,再证得和
,利用等量代换,即可证明结论.
(1)作AF⊥OB于F,
∵,且
为等腰直角三角形,点A的坐标为(2,2),
∴OF=AF=BF=2,
∴OB=OF+BF=4,
∴点B的坐标为(4,0);
(2) ∠FED =45°,
理由如下:
∵∠BAO=90°,AB=AO,
∴∠AOB=45°,
∵AE⊥OC,AF⊥OB,
∴∠AEO=∠AFO=90°,
∴A、O、F、E四点共圆,
∴∠FED=∠AOB=45°;
(3) 等式成立,
理由如下:
过A作AH∥OC交y轴于点H,设AF与OC交于点G,
∵AF⊥OB,
∴AG∥y轴,
∴四边形AGOH为平行四边形,
∴OH=AG,AH=OG;
∵∠BAO=90°,AB=AO,AF⊥OB,
∴∠OAF=∠OBA=45°,
∵∠CAO=90°,AE⊥OC,
∴∠OAE+∠EAC=90°,∠OAE+∠AOC=90°,
∴∠EAC=∠AOC,
在和
中,
,
∴,
∴,
,
∴,
;
∵AM∥EF,
∴∠MAD=∠span>FED=45°,
∵AH∥OC,AE⊥OC,
∴AE⊥AH,
∴∠HAE=90°,
∴∠MAH=∠MAD=45°,
在和
中,
,
∴,
∴MD=MH,
∴MD=MH=OM+OH=OM+BD,
∴
