题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,为等腰直角三角形,

1)如图1,直接写出点的坐标;

2)如图2,若边上一动点,连接,过,交于点,交于点,点的中点,连接,猜想的度数,并说明理由.

3)如图3,在(2)的条件下,过点,交轴于点,连接,当点在边上(不含端点)运动过程中,等式是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.

【答案】(1) (40);(2)∠FED =45°,理由见解析;(3)成立,理由见解析

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性质,即可求得OB的长,从而求得点B的坐标;

(2)利用垂直的性质得∠AEO=AFO=90°,利用四点共圆的知识即可求解;

(3) AHOCy轴于点H,证得四边形AGOH为平行四边形,再证得,利用等量代换,即可证明结论.

(1)作AFOBF

,且为等腰直角三角形,点A的坐标为(22)

OF=AF=BF=2

OB=OF+BF=4

∴点B的坐标为(40)

(2) FED =45°

理由如下:

∵∠BAO=90°AB=AO
∴∠AOB=45°
AEOCAFOB

∴∠AEO=AFO=90°
AOFE四点共圆,
∴∠FED=AOB=45°

(3) 等式成立,

理由如下:

AAHOCy轴于点H,设AFOC交于点G

AFOB

AGy轴,

∴四边形AGOH为平行四边形,

OH=AGAH=OG

∵∠BAO=90°AB=AOAFOB

∴∠OAF=OBA=45°

∵∠CAO=90°AEOC

∴∠OAE+EAC=90°,∠OAE+AOC=90°

∴∠EAC=AOC

中,

AMEF

∴∠MAD=span>FED=45°

AHOCAEOC

AEAH

∴∠HAE=90°

∴∠MAH=MAD=45°

中,

MD=MH

MD=MH=OM+OH=OM+BD

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