Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于原点和点，点在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；

（2）求的值；

（3）点在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；对称轴为；（2）2；（3）

【解析】

（1）将点O（0,0），点B（4,0）分别代入使用待定系数法即可求得解析式，然后再使用对称轴公式解答即可；

（2）把点A（3，m）代入y=-x2+4x，求出m的值，得到点A的坐标，过点B作BM⊥OA，交OA于点M，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，然后根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BM和AM的长，最后运用正切的定义解答即可；

（3）把AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，作AE⊥OB于E,CF⊥OB于F,CA交直线x=2于D点，利用△BAC为等腰直角三角形得到∠CAB=45°，证明△ABE≌△BCF得到BF=AE=3，BE=CF=1，则C（1，-1），根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=2x-3，然后计算自变量为2对应的一次函数值，即可确定D点的坐标.

解：由待定系数法得：

解得

所以抛物线的表达式为：y=-x2+4x，它的对称轴为：x=

（2）把点A（3，m）代入y=-x2+4x，解得m==3，则点A的坐标为（3,3）

如图：过点B作BM⊥OA，交OA于点M，过点A作AE⊥OB交OB于点E

AE=3,OE=3，BE=4-3=1，OA= , AB=

S△OAB=

∴BM

∴AM=

∴

（3）把AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，如图所示，作AE⊥OB于E,CF⊥OB于F,CA交直线x=2于D点，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴△BAC为等腰直角三角形

∴∠CAB=45°

∵∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC=90°

∴△ABE≌△BCF（AAS）

∴BF=AE=3，BE=CF=1

∴C(1，-1)

∴直线AC的解析式为y=2x-3，

∴当x=2时D点坐标为（2,1）