Question

关于x的方程mx²+4x+1=0，当m满足什么条件时，
（1）方程有两个不相等的实数根？
（2）方程有实数根？

Answer 1

分析：（1）由关于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即4²-4•m•1＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围；
（2）①m=0时，此方程为一元一次方程，并且方程有解；②当m≠0时，由关于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△≥0，即4²-4•m•1≥0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即4²-4•m•1＞0，
解得m＜4，
∴当m＜4且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；

（2））①m=0时，此方程为一元一次方程，
即4x+1=0，解得x=-

1

4

，
∴方程有解；
②当m≠0时，
∵关于x的一元二次方程mx²+4x+1=0有实数根，
∴m≠0且△≥0，即4²-4•m•1≥0，
解得m≤4，
∴当m≤4且m≠0时，方程有实数根．
综上所述当m≤4时，方程有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．