题目内容
【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）P点坐标为（
， 
）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为
；（3）存在， 
．
【解析】试题分析：（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．
试题解析：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得： 
，解得： 
，∴抛物线解析式为
；
（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在
中，令y=0可得
，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=
ABOC=
×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，
），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=
=
，∴S△PBC=
PMOH+
PMHB=
PM（OH+HB）=
PMOB=
PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=
=
，∴当x=
时，PMmax=
，则S△PBC=
=
，此时P点坐标为（
， 
），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+
=
，即当P点坐标为（
， 
）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为
；
（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中，∵∠AOC=∠NOB，OC=OB，∠ACO=∠NBO，∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得
，解得：
，∴直线m解析式为
，即存在满足条件的直线m，其解析式为
．
