题目内容
如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒
个单位的速度沿D
A向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）
（1）求点A的坐标；
（2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=
？
| 5 |
A向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）（1）求点A的坐标；
（2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=
| 1 |
| 4 |
（1）∵点C的坐标为（3，4），
∴OC=
=5，
又∵四边形OABC为菱形，
∴OA=OC=5，
∴点A的坐标为（5，0）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD=
=5
，
延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC=
=3
；
①当点P在线段AB上，Q在线段CD上，
PA=2t，DQ=
t，CQ=3
-
t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5
，
∴PH=
t，AH=
t，
∴S=
QC•PH=
•（3
-
t）•
t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
②当点P在线段BC上，Q在线段CD上，
PC=10-2t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
易证Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5
，
∴PH=4
-
t，CH=2
-
t，
∴S=
PH•CQ=
•（4
-
t）•（3
-
t）=2t2-16t+30（2.5＜t＜3）；
③当点P在线段BC上，Q在线段CA上，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
由②知PH=4
-
t，
∴S=
PH•CQ=
•（4
-
t）•（
t-3
）=-2t2+16t-30（3＜t＜5）；
（3）当0＜t≤2.5，
∵PH=
t，AH=
t，
∴QH=5
-
t-
t=5
-
t，
∵tan∠PQH=
，
∴PH：QH=
∴OC=
| 32+42 |
又∵四边形OABC为菱形，
∴OA=OC=5，
∴点A的坐标为（5，0）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD=
| 102+52 |
| 5 |
延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC=
| 62+32 |
| 5 |
①当点P在线段AB上，Q在线段CD上，
PA=2t，DQ=
| 5 |
| 5 |
| 5 |
过点P作PH⊥AD于H，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5
| 5 |
∴PH=
4
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
4
| ||
| 5 |
②当点P在线段BC上，Q在线段CD上，
PC=10-2t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
易证Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5
| 5 |
∴PH=4
| 5 |
4
| ||
| 5 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
4
| ||
| 5 |
| 5 |
| 5 |
③当点P在线段BC上，Q在线段CA上，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
由②知PH=4
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4
| ||
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
4
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| 5 |
| 5 |
| 5 |
（3）当0＜t≤2.5，
∵PH=
4
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∴QH=5
| 5 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| 5 |
7
| ||
| 5 |
∵tan∠PQH=
| 1 |
| 4 |
∴PH：QH=
| ||||
5
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于点C，交y轴于点D．
