题目内容
【题目】已知抛物线C1:y=﹣ x2+mx+m+
.
(1)①无论m取何值,抛物线经过定点P;
②随着m的取值变化,顶点M(x,y)随之变化,y是x的函数,则其函数C2关系式为;
(2)如图1,若该抛物线C1与x轴仅有一个公共点,请在图1中画出顶点M满足的函数C2的大致图象,平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B,若△PAB为等腰直角三角形,判断直线l满足的条件,并说明理由;
(3)如图2,抛物线C1的顶点M在第二象限,交x轴于另一点C,抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为﹣2,连接PD、CD、CM、DM,若S△PCD=S△MCD , 求二次函数的解析式.
【答案】
(1)(﹣1,0);y=
(2)
解:∵该抛物线C1与x轴仅有一个公共点,
∴△= =0,
m2+2m+1=0,
m1=m2=﹣1,
∴抛物线C1关系式为:y=﹣ ﹣x﹣
=﹣
(x+1)2,
如图1,抛物线C1、C2关于x轴对称,
∵△PAB是等腰直角三角形,
∴PA=PB,PA⊥PB,
∵x轴⊥AB,
∴x轴是AB的垂直平分线,
∴BD=PD,
当直线l在顶点P的右侧时, =x+1,
解得x=1,x=﹣1(不能构成三角形,舍去),
当直线l在顶点P的左侧时,有 =﹣x﹣1,
解得x=﹣3、x=﹣1(不能构成三角形,舍去),
则直线l为:x=1或x=﹣3
(3)
解:如图2,
当x=﹣2时,y=﹣ ×4﹣2m+m+
=﹣m﹣
,
∴D(﹣2,﹣m﹣ ),
当y=0时,﹣ x2+mx+m+
=0,
x2﹣2mx﹣2m﹣1=0,
解得:x1=1,x2=2m+1,
∴P(﹣1,0),C(2m+1,0),
由(1)得:顶点M[m, (m+1)2],
过D作DH⊥PC于H,过M作MN⊥PC于N,交CD于T,
则直线CD的解析式为:y= x﹣m﹣
,
∴T(m,﹣ ﹣
),
∵S△PCD=S△MCD,
则 PCDH=
MTCH,
(﹣1﹣2m﹣1)(﹣m﹣
)=
[
﹣
](﹣2﹣2m﹣1),
(m+1)(2m+3)=﹣ (m+1)(m+2)(2m+3),
(m+1)(2m+3)(m+4)=0,
m1=﹣1,m2=﹣ ,m3=﹣4,
∵抛物线C1的顶点M在第二象限,点D又在点M与点P之间,
∴m1=﹣1,m2=﹣ ,不符合题意,舍去,
∴m=﹣4,
∴y=﹣ x2﹣4x﹣4+
=﹣
x2﹣4x﹣
,
则二次函数的解析式为:y=﹣ x2﹣4x﹣
.
【解析】解:(1)①当x=﹣1时,y=﹣ ﹣m+m+
=0,
∴无论m取何值,抛物线经过定点P(﹣1,0);
y=﹣ x2+mx+m+
=﹣
(x﹣m)2+
m2+m+
,
顶点坐标为(m, m2+m+
),
∵顶点M(x,y),y是x的函数,
则其函数C2关系式为:y= =
(x+1)2;
所以答案是:①(﹣1,0);②y= ;
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
