题目内容

已知正方形ABCD的边长为4,E是边CD上的一个动点,以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF,连接BF、FD、BD,则BD与CF的位置关系式________.
(1)如图1,当CE=4(即点E与点D重合)时,△BDF的面积为________;
(2)如图2,当CE=2(即点E为CD的中点)时,△BDF的面积为________;
(3)如图3,当CE=3时,△BDF的面积为________.

(4)如图4,根据上述计算结果,当E是CD边上任意一点时,请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想;并证明你的猜想.
(5)如图5,若E是CD延长线上任意一点时,请你判断(4)中的结论是否仍然成立.

解:∵正方形ABCD和等腰直角三角形CDF,
∴BC∥AD,BC=CD=EF,
∴四边形BDFC是平行四边形,
∴BD∥CF,
故答案为:BD∥CF.

(1)解:AD=DF=4,
∴S△BDF=DF×AB=×4×4=8,
故答案为:8.

(2)解:△BDF的面积是S△BCD+S△CDF-S△BCF,…
=BC×CD+CD×EF-BC×CE,
=×4×4+×4×2-×4×2,
=8,
故答案为:8.

(3)解:△BDF的面积是:S△BCD+S△CDF-S△BCF
=BC×CD+CD×EF-BC×CE,
=×4×4+×4×3-×4×3,
=8,
故答案为:8.

(4)解:S△BDF=S正方形ABCD
证明:∵S正方形ABCD=AB×BC=4×4=16,
S△BDF=S△BCD+S△CDF-S△BCF
=BC×CD+CD×EF-BC×CE,
=×4×4+×4×EF-×4×EF,
=8,
∴S△BDF=S正方形ABCD.

(5)仍然成立,
理由是:∵EF=CE,
∴S正方形ABCD=AB×BC,
S△BDF=S△BCD+S△CDF-S△BCF
=BC×CD+CD×EF-BC×CE,
=BC×CD,
∴S△BDF=S正方形ABCD
分析:根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求出BC=EF,BC∥EF,推出平行四边形BDFC即可;
(1)根据三角形的面积公式求出即可;
(2)根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF,代入求出即可;
(3)根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF,代入求出即可;
(4)根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF和EF=CE,代入求出即可;
(5)根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF、EF=CE和正方形的面积,代入求出即可.
点评:本题综合考查了等腰直角三角形,正方形的性质,三角形的面积,平行四边形的性质和判定等知识点的应用,题型较好,用的数学思想是类比思想,考查了学生分析问题、解决问题的能力.
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