Question

阅读理解并回答问题．
（1）观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…
（2）找出规律，并计算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

（3）解方程：

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（2）观察发现两个相邻正整数积的倒数等于它们的倒数的差；然后把式子

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

中得每个数转化为两个数的差，再进行加减运算即可；
（3）先根据（2）的规律变形为

1

x

-

1

x+1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-4

-

1

x-3

=

1

x+1

，再整理可得

1

x+4

-

1

x+1

=

1

x+1

，然后去分母得x+1-（x+4）=x+4，解得x=-7，然后进行检验确定原方程的解．

解答：解：（2）规律为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数）；

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

x

-

1

x+1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-4

-

1

x-3

=

1

x+1

，

1

x+4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
去分母得x+1-（x+4）=x+4，
解得x=-7，
经检验x=-7是原方程的解，
所以原方程的解为x=-7．

点评：本题考查了解分式方程：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验，把整式方程的解代入分式方程的分母中，若分母为零，则这个整式方程的解为分式方程的增根；若分母不为零，则这个整式方程的解为分式方程的解．