Question

请阅读下列材料：
（1）问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及

PG

PC

的值．
（2）实验与探究：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
写出上面问题中线段PG与PC的位置关系

垂直

； 及

PG

PC

=

3

．
（3）归纳与发现：将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
运用与拓广：
若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由为：延长PG，与DC交于点H，如图1所示，可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证△DHP和△PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），得出两三角形全等，于是△CHG就是等腰直角三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP⊥PG；又△CHG是个等腰三角形，得出顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；
（2）在（1）中得到的两个结论不发生变化，即PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由为：延长CP，与AB交于M点，连接CG，MG，构造全等三角形，可证三角形CBG与三角形MFG全等，先同（1）证明三角形CDP与三角形PFM全等，得到CP=MP，DC=MF，由DC=CB得到CB=MF，再由菱形BEFG得到BG=FG，再由一对角相等，利用SAS可得出三角形CBG与三角形MFG全等，利用全等三角形的对应边相等得到CG=MG，由P为CM的中点，利用三线合一得到PG与CP垂直，同时利用等式的性质得到∠CGM=60°，由CG=MG，得到三角形MCG为等边三角形，可得出∠PCG=60°，在直角三角形PCG中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值即可求出PG与PC的比值为

3

；
（3）将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，取特殊情况考虑：如图1，由∠ABC=∠BEF=2α，根据两直线平行同旁内角互补表示出∠DCB，再由（1）得出CP为∠DCB角平分线，表示出∠PCG，在直角三角形PCG中，利用锐角三角函数定义可得tan∠PCG=

PG

PC

=tan（90°-α）．

解答：解：（1）PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由为：
证明：延长PG，与DC交于点H，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，四边形EFBG是菱形，
∴DC∥AE，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
又P为DF的中点，
∴DP=FP，
在△DHP和△FGP中，

∠HDP=∠GFP ∠DHP=∠FGP DP=FP

，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴DH=GF，HP=GP，
又∵CD=CB，GF=GB，
∴DC-DH=CB-GF=CB-GB，即CH=CG，
∴△CHG为等腰三角形，
∴CP⊥PG，CP为∠DCB的平分线，
又∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠PCG=60°，
在Rt△PCG中，tan∠PCG=

PG

PC

=tan60°=

3

；

（2）在（1）中得到的两个结论不发生变化，即PG⊥PC，且

PG

PC

=

3

，理由为：
证明：延长CP，与AB交于M点，连接CG，MG，
∵四边形ABCD是菱形，四边形EFBG是菱形，
∴DC∥AB，BG=FG，DC=BC，
∴∠CDP=∠DFA，∠DCP=∠FMP，
又∵P为DF的中点，
∴DP=FP，
在△DCP和△FMP中，

∠CDP=∠MFP ∠DCP=∠FMP DP=FP

，
∴△DCP≌△FMP（AAS），
∴DC=MF，CP=MP，
∴MF=BC，
∵菱形BEFG中，BF平分∠GBE，
∴∠ABC=∠EBF=∠GBF=60°，
∴∠CBG=∠MFG=60°，
在△CBG和△MFG中，

CB=MG ∠CBG=∠MFG=60° BG=FG

，
∴△CBG≌△MFG（SAS），
∴CG=MG，∠CGB=∠MGF，
∴CP⊥PG，
∵∠CGB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM，
∴∠CGM=∠FGB=60°，
又∵CG=GM，
∴△CGM是等边三角形，
∴∠PCG=60°，
在Rt△PCG中，tan∠PCG=

PG

PC

=tan60°=

3

；

（3）

PG

PC

=tan（90°-α），理由为：
用特值法：如图1所示，假设∠ABC=∠BEF=2α，
可得∠PCG=

1

2

（180°-2α）=90°-α，
则tan∠PCG=

PG

PC

=tan（90°-α）．
故答案为：垂直；

3

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，平行线的性质，以及特殊角的三角函数值，是一道综合性较强的试题．