题目内容
【题目】如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A(4,0).B(0,8),点C的坐标为(2,0).
(1)求直线AB的解析式;
(2)在线段AB上有一动点P.
①过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为点E,F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标.
②连结CP,是否存在点P,使与相似,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①点P(1,6)或(3,2);②存在,点P的坐标为(2,4)或点P(,).
【解析】
试题分析:(1)由于A(4,0).B(0,8),利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
(2)①可以设动点P(x,﹣2x+8),由此得到PE=x,PF=﹣2x+8,再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标;
②存在,分两种情况:第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB,由此即可求出P的坐标;第二种CP⊥AB,根据已知条件可以证明APC∽△AOB,
然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA,再过点P作PH⊥x轴,垂足为H,由此得到PH∥OB,进一步得到△APH∽△ABO,然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标.
试题解析:(1)设直线AB的解析式为,依题意
,解得:
∴;
(2)①设动点P (x,)
则,
∴
∴,
经检验,都符合题意
∴点P(1,6)或(3,2);
②存在,分两种情况
第一种:
∴∽
而点C的坐标为(2,0)
∴点P(2,4 )
第二种
∵,
∴∽
∴
∴
∴
如图,过点P作轴,垂足为H
∴
∴∽
∴
∴
∴,
∴
∴点P(,)
∴点P的坐标为(2,4)或点P(,).
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