Question

(本题12分)
如图，AD//BC，点E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足为点O.
(1)求证:四边形AEFD是菱形；
(2)若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度数；
(3)若BE=EF=FC，设AB = m，CD = n，求四边形ABCD的面积.

Answer 1

（1）( 4分）证明:

（方法一）∵AF⊥DE  
∴∠1+∠3=90° 即：∠3=90°-∠1
∴∠2+∠4=90° 即：∠4=90°-∠2
又∵∠1=∠2     ∴∠3=∠4  ∴AE =" EF"
∵AD//BC     ∴∠2=∠5 
∵∠1=∠2    ∴∠1=∠5
∴AE =" AD  " ∴EF =" AD " 2分
∵AD//EF
∴四边形AEFD是平行四边形 1分
又∵AE =" AD  "
∴四边形AEFD是菱形 1分
（方法二）∵AD//BC   ∴∠2=∠5
∵∠1=∠2  ∴∠1=∠5
∵AF⊥DE  ∴∠AOE=∠AOD=90°
在△AEO和△ADO中  ∴△AEO△ADO ∴EO=OD
在△AEO和△FEO中∴△AEO△FEO ∴AO="FO  " 2分
∴AF与ED互相平分  1分
∴四边形AEFD是平行四边形
又∵AF⊥DE
∴四边形AEFD是菱形 1分
(2)( 5分）

∵菱形AEFD   ∴AD="EF  "
∵BE="EF     " ∴AD=BE
又∵AD//BC  ∴四边形ABED是平行四边形  1分
∴AB//DE  ∴∠BAF=∠EOF
同理可知  四边形AFCD是平行四边形
∴AF//DC  ∴∠EDC=∠EOF
又∵AF⊥ED  ∴∠EOF=∠AOD=90°
∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2分
∴∠5 +∠6=90°       1分
∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1分
（3）( 3分）由（2）知∠BAF =90°平行四边形AFCD   ∴AF="CD=n"
又∵AB="m    "     1分
由（2）知 平行四边形ABED ∴DE=AB=m
由（1）知OD=   1分
   1分

略