Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD=CD=8，AB=CB=6，点E，F，G，H分别是DA，AB，BC，CD的中点．

（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若DA⊥AB，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：

连接AC、BD，交于点O，如图．

∵点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点，

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，

EF=GH= BD，EH=FG= AC，

∴四边形EFGH是矩形．

∵AD=CD，AB=CB，

∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上，

∴DB垂直平分AC，

∴DB⊥AC，OA=OC．

∵EF∥DB，

∴EF⊥AC．

∵FG∥AC，

∴EF⊥FG，

∴EFGH是矩形

（2）解：∵DA⊥AB，AD=8，AB=6，

∴DB=10．

∴EF= BD=5．

∵S△BAD= ABAD= BDAO，

∴AO= = = ，

∴OC= ，AC= ，

∴FG= AC= ，

∴S矩形EFGH=FGEF= ×5=24．

【解析】（1）连接AC、BD，交于点O，运用三角形中位线定理可证到四边形EFGH是平行四边形，要证四边形EFGH是矩形，只需证EF⊥FG，由于EF∥BD，FG∥AC，只需证DB⊥AC，只需运用线段垂直平分线性质定理的逆定理就可解决问题；（2）要求矩形EFGH的面积，只需求出EF、FG的值，只需求出BD、AC，运用勾股定理就可求出BD，运用面积法就可求出AO，从而求出AC，问题得以解决．
【考点精析】本题主要考查了矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．